Metody definiowania liczb

Z twierdzenia G�dla o niezupe?no?ci wynika, i? dowolna \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"porz?dnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych wewn?trz j?zyku pierwszego jest niezupe?na. Zatem na rzecz ka?dego jej modelu (konstrukcji) istniej? takie zdania, kt�re bodaj prawdziwe wewn?trz obr?bie danej konstrukcji, nie daj? si? wyprowadzi? z aksjomat�w. Arytmetyki Peany PA nie da si? poprze? sko?czon? liczb? aksjomat�w owszem, i?by prawdziwo?? ka?dego jej twierdzenia dawa?a si? rozstrzygn??. Matematycy znaj? takie twierdzenia teorii liczb (np. twierdzenie Goodsteina), kt�rych nie mo?na dowie?? ani zaprzeczy? na gruncie PA (cho? wynikaj? one z aksjomat�w Peany).pracaAksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym z aksjomat�w Peano. Sprawia gorsza po?owa, i? aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyra?ona wewn?trz j?zyku pierwszego oko?o, jakkolwiek w ?rodku to (jak wykaza? Richard Dedekind) jest niewiasta kategoryczna, czyli ka?de dubel modele spe?niaj?ce te aksjomaty s? izomorficzne.pracaUog�lnieniem poj?cia liczno?ci zbioru sko?czonego na wszelkie plon, r�wnie? niesko?czone, jest tzw. wigor zbioru. Dwa ?niwa A a B s? r�wnoliczne (maj? t? sam? moc), je?eli elementy zbioru A mo?na scali? wewn?trz pary z elementami zbioru B, w istocie i?by wszelki pierwiastek zbioru A a wszelki pierwiastek zbioru B dotychczasowy wykorzystane uderzenie a wprost przeciwnie raz.pracaNa gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogo?ci stwierdza si?, i? wolumen kardynalna to kategoria r�wnowa?no?ci relacji r�wnoliczno?ci zbior�w. W�wczas wigor zbioru to wolumen kardynalna kt�ra jest klas? r�wnowa?no?ci tego zbioru. Formalizacja tego podej?cia na gruncie ZF jest raczej z?o?ona, gdy? w istocie zdefiniowane liczby kardynalne nie by?yby zbiorami, za? klasami w?a?ciwymi. Nawet u?ywaj?c formalizacji teorii mnogo?ci dozwalaj?cej na wykorzystanie klas, nie mogliby?my zdefiniowa? klasy wszystkich liczb kardynalnych, wypada tote? specjalizowa? si? si? do \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"fragment�w pocz?tkowych\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" klas r�wnowa?no?ci a przem�c etap technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogo?ci definiuje si? liczby kardynalne wewn?trz wzgl?dnie r�?ny spos�b: wolumen kardynalna to tzw pocz?tkowa wolumen porz?dkowa, czyli taka wolumen porz?dkowa, kt�ra nie jest r�wnoliczna z ?adn? liczb? porz?dkow? odk?d niej mniejsz? (r�wnowa?nie: wolumen porz?dkowa kt�ra nie jest r�wnoliczna z ?adnym swoim elementem). Przy za?o?eniu AC, wszelki zestaw jest r�wnoliczny z pewn? (tak zdefiniowan?) liczb? kardynaln? nazywan? moc? tego zbioru.praca

• Start
• O co chodzi?
• Napisz artykuł
• Spis artykułów
• RSS